第一章  代数初步知识

    本章主要内容是关于代数式及其简单应用的知识，包括字母表示数、列代数
式、求代数式的值、公式与简易方程五小节。


第一单元  代数式

重点难点提示
重点：一、对给出的一个具体的代数式，能准确表达出它的数学意义；
      二、列代数式，即将基本数量关系的语言用代数式来表示。
难点：列代数式：此内容系以后所学知识的基础。为此，在学习中要注意以下几
点：
    1. 什么是代数式，和公式、等式有什么区别？
    这是要明确：单独的一个数或一个字号也都是代数式。
    2. 一个具体的代数式，能准确用语言表述其意义，并能把简单的与数量有关
的词语化为代数式的形式。
    3. 会用具体数值代替代数式中的字号，按其代数式指明的运算顺序进行计算。
    4. 一些常用的公式要记住，如三角形、矩形、正方形、梯形、圆的面积及周
长公式，并会应用。

知识点分析与例题选讲

    1. 从确定的数过渡到用字号表示数，引进代数式，这是数学发展上的一次飞
跃。为了利用代数式正确表达数量关系，要注意代数式书写格式的规范。
   (1) 字号与字号的乘法运算中，通常省略乘号，如a乘b，简写成ab；
   (2) 数字与字号相乘时，若省略乘号，则要把数字写在字号前面；如5乘a，应
写成5a；
   (3) 带分数与字号相乘时，要把带分数化成假分数，如1*3/4要写成7/4t.
   (4) 在含有字号的除法运算中，要用分数线代替除号，写成分数的形式，如
a÷2b应写成a/2b，否则容易误解为a/2*b 
   (5) 用字号表示数时，在一些实际问题中往往涉及单位。在运算过程中或列式
子中不写单位名称，答案中要把单位名称写出来。若结果是积或商，单位名称写
在式子后面。如vt千米；若结果是和或差，必须把式子用括号括起来，单位名称
写法如(a^2-b^2)平方米。(注a^2表示a的平方)

    2. 代数式区别于公式和等式，在公式和等式中都有“=”号，而代数式中不
含号，它是用代数运算(加、减、乘、除、乘方、开方)符号把数或表示数的字号
连接起来的式子。

例1. 指明下列各式中哪些是代数式
(1) a+b+c=m+n+p      (2) 3a+2b
(3) 2+3+1/2          (4) X
(5) S=2πR           (6) 2X+3y=8

    3. 用语言表达一个代数式的意义，首先要清楚在代数式中都有哪些运算，这
些运算的先后顺序是什么

例2. 说出下列代数式表示的意义
(1) 2a+b    
(2) 2(a+b)    
(3) a-(b-c)
解：(1)此式中含两种运算：加和乘，顺序是先乘后加，因此用语言表达应是:“a
的2倍与b的和”。
    (2)此式也含加、乘两种运算，顺序是先加后乘，因此用语言表达为“a与b和]
的2倍”.
    (3)此式中的两步运算都是减，顺序是b和c先减，因此用语言表达为“a与b减
c差的差”

例3. 说出下列各组代数式的意义有什么不同
(1) 2(a+b),     2a+b,    a+2b
(2) a2-b2/2, 1/2(a2-b2),  [(a-b)/2]2
解：(1)2(a+b)是a与b和的2倍;
       2a+b是a的2倍与b的和；
       a+2b是a与b的2倍的和。
    (2)a2-b2/2是a2与b2的一半的差；
       1/2(a22-b2)是a与b两数平方关的一半；
       [(a-b)/2]2是a与b的差的一半的平方。
指出：
    (1)用语言表达一个代数式的意义，具体说法上没有统一的规定，只要能正确
表达即可。一般有两种读法，一是按运算顺序来读，如a-b读作"a减b"，二是按运
算结果来读。如a-b读作"a与b的差"。
    (2)对于不含括号的代数式，习惯上从左到右按运算顺序读；含括号的应把括
号里的代数式看作一个整体按运算结果来读。
    如 a+b2读作：a加b的平方
       a2+b2读作：a.b 两数的平方和
       (a+b)2读作：a.b 两数和的平方
       (a-b)y读作：a与b的差乘以y
       (2x+y)(2x-y)读作：“x的2倍与y的乘以X的2倍与y的差”
    (3)由于分数线具有除法与括号的双重作用，对于含分数线的式子，都应该把
分子与分母看作一个整体来读。
    如y2/X读作“y的平方除以X的商”，而不能读作“X分之y的平方---(y/x)2”
    读代数式的目的，一方面是训练和培养我们的数学语言，另一方面通过读出
代数工弄清运算顺序，为以后列代数式打基础。

    4. 列代数式的关键：一要抓住关键性的词语，如“增加”“减少”、“大”、
“小”、“扩大”、“缩小”、“除”、“和”、“差”、“积”、“商”等不
同意的概念。二是理清运算顺序，如“和的积”和“积的和”运算顺序不同，前
者是先和后积，后者是先积后和，又比如“两数平方差”与“两数差的平方”，
前者是先平方后做差，式子：a2-b2。后者是先做差后平方，式子：(a-b)2。

例4. 把“a与b两数的和与a与b两数的差的积”列为代数式

解：这里的运算有加、减、乘，而这三种运算的关系是 和X差=积 。顺序是先和、
差后积，因此列式为：
    (a+b)(a-b)

例5. 把“比a与b的积的2倍大5的数”列为代数式

解：此题按照题目中叙述的量的运算顺序分步顺下来即可，ab---2ab---2ab+5
    因此所列式为 2ab+5

例6. 用代数式表示：
    (1)甲数与乙数平方的和；
    (2)甲乙两数的平方差；
    (3)甲乙两数差的平方。

解：设甲数为x，乙数为y
    (1) X+y2    (2) X2-y2   (3) (X-Y)2